Từ phương trình mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2z=0$ ta suy ra được mặt cầu có tâm $I\left( 1;0;1 \right);R=\sqrt{2}$

Nhận thấy hai mệnh đề I và III đối nhau, cả hai mệnh đề đều liên quan đến giá trị m để $\left( \alpha  \right)$ cắt (S). Khoảng cách từ M đến mặt phẳng $\left( \alpha  \right):4x+3y+mz=0$ là $d=\frac{\left| 4+m \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}+{{m}^{2}}}}$

Để $\left( \alpha  \right)$ cắt (S) theo một đường tròn thì khoảng cách d phải nhỏ hơn bán kính mặt cầu là $R=\sqrt{2}\Leftrightarrow \frac{\left| 4+m \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{3}^{2}}+{{m}^{2}}}}<\sqrt{2}\Leftrightarrow \frac{{{\left( m+4 \right)}^{2}}}{{{m}^{2}}+25}<2$ $\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+50-{{\left( m+4 \right)}^{2}}>0$ $\Leftrightarrow {{m}^{2}}-8m+34>0$ .

Do đó với mọi giá trị của m ta đều có: $\left( \alpha  \right)$ cắt $\left( S \right)$

Vậy cả hai mệnh đề I và III đều sai

Sai lầm thường gặp: Đôi khi chúng ta lạm dụng quá nhiều phương pháp loại bỏ đáp án, ở bài toán này hai mệnh đề I và III đối nhau nên ta dễ bị “lầm tưởng” rằng 1 trong hai đáp án đúng.