Hình nón sinh bởi một tam giác đều cạnh $a$ khi quay quanh một đường cao thì sẽ có chiều cao bằng chiều cao của tam giác dó, tức là $h=\frac{a\sqrt{3}}{2};$ đường kính bằng cạnh tam giác $\Rightarrow 2r=a\Leftrightarrow r=\frac{a}{2}$.

Thể tích của khối nón đó là $V=\frac{1}{3}.\pi .{{r}^{2}}.h=\frac{{{a}^{3}}\pi \sqrt{3}}{24}$

Gọi R là bán kính khối cầu có cùng thể tích với khối nón trên thì ta có $V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{{{a}^{3}}\pi \sqrt{3}}{24}$

$\Rightarrow {{R}^{3}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{32}\Leftrightarrow R=\frac{a\sqrt[3]{2\sqrt{3}}}{4}\Rightarrow $ Diện tích khối cầu là $S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi {{a}^{2}}\frac{\sqrt[3]{12}}{16}=\frac{{{a}^{2}}\pi \sqrt[3]{12}}{4}$