Gọi I là trung điểm của AB thì $OI\bot AB;SI\bot AB;OI=2$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} AO=SA.\cos SAO=SA.\frac{\sqrt{3}}{2}  \\ AI=SA.\cos SAI=\frac{SA}{2}  \\ \end{matrix} \right.$

Từ đó ta có $\frac{AI}{AO}=\frac{1}{\sqrt{3}}$. Mặt khác $\frac{AI}{AO}=\cos IAO\Rightarrow \sin IAO=\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{2}{OA}\Rightarrow OA=\sqrt{6}$

Mà $SA=\frac{OA}{\cos 30}=\sqrt{6}.\frac{2}{\sqrt{3}}=2\sqrt{2}$

Diện tích xung quanh cần tính là: ${{S}_{xq}}=\pi .OA.SA=4\pi \sqrt{3}$

Nhận xét: Điểm mấu chốt của bải toán nằm ở việc lấy thêm điểm I