Đối với bài toán này, chúng ta sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.

Đặt $\left\{ \begin{matrix} u=x  \\ dv=\frac{dx}{{{\cos }^{2}}x}  \\ \end{matrix} \right.  \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du=dx  \\ v=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}  \\ \end{matrix} \right.$

Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có: $I=\left( x\tan x \right)\left| \begin{matrix} \frac{\pi }{3}  \\ 0  \\ \end{matrix} \right.-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{\sin xdx}{\cos x}}$ $=\left( x\tan x \right)\left| \begin{matrix} \frac{\pi }{3}  \\ 0  \\ \end{matrix}+\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{d\left( \cos x \right)}{\cos x}} \right.$  $\Leftrightarrow I=\left( x\tan x \right)\left| \begin{matrix} \frac{\pi }{3}  \\ 0  \\ \end{matrix} \right.+\ln \left( \cos x \right)\left| \begin{matrix} \frac{\pi }{3}  \\ 0  \\ \end{matrix} \right.=\frac{\pi }{\sqrt{3}}-\ln 2$

Suy ra $a=\frac{1}{\sqrt{3}};b=-\ln 2$.

Tổng $a+b=\frac{1}{\sqrt{3}}-\ln 2\approx -0,1157969114$

Lưu ý khái niệm phần nguyên của x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x, vậy đáp án đúng là đáp án B.

Nhận xét: Bài toán trên đòi hỏi khả năng biến đổi của thí sính và nhắc lại kiến thức về khái niệm phần nguyên, sẽ có thí sinh khi đi thi đã tìm ra kết quả phân tích nhưng lúng túng trong việc lựa chọn đáp án vì không nhớ rõ khái niệm phần nguyên.