Phân tích: Thiết diện của mặt phẳng đi qua đỉnh nón với nón là hình tam giác có đỉnh là đỉnh nón. Gọi H là trung điểm của AB, khi đó ta có $IH\bot AB$ . Đặt $IH=x$. Ta lần lượt tính được độ dài các đoạn sau theo $x$ và $a$ .$OH=\sqrt{O{{I}^{2}}+I{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}+{{x}^{2}}}$ và $AB=2AH=2\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$ khi đó diện tích tam giác OAB sẽ được tính là: $S=\frac{1}{2}OH.AB=\sqrt{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}+{{x}^{2}}}\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có  $S=\sqrt{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}+{{x}^{2}}}\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}\le \frac{\frac{{{a}^{2}}}{4}+{{x}^{2}}+{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}{2}=\frac{5}{8}{{a}^{2}}$