Phân tích: Để tính bán kính mặt cầu của những khối chóp mà hình dạng của nó không có gì đặc biệt thì phương pháp chung đó là:

• Xác định đường cao khối chóp SH. Xác định K là tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy.


• Dựng trục đường tròn đáy: Là đường thẳng qua tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với đáy (đường thẳng này song song với đường cao của khối chóp)


• Dựng mặt phẳng trung trực của một cạnh bên cắt trục đường tròn tại điểm I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

(Thông thường ta xác định tâm I theo cách kẻ IE vuông góc với $S{{A}_{1}}$ tai trung điểm E của $S{{A}_{1}}$)

Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp theo công thức sau: ${{R}^{2}}=IA_{1}^{2}=I{{K}^{2}}+K{{A}_{1}}^{2}\left( 1 \right)$ và ${{R}^{2}}=\frac{S{{A}_{1}}^{2}}{4}+I{{E}^{2}}=\frac{S{{A}_{1}}^{2}}{4}+K{{F}^{2}}+{{\left( IK-EF \right)}^{2}}\left( 2 \right)$ với K là hình chiếu của E lên đáy.

Quay lại với bài toán trên, ta có thể làm theo 2 cách: một cách là dựng hình như trên và cách còn lại là dùng phương pháp tọa độ hóa.

• Cách 1: Trình bày theo phương pháp hình học không gian

Trước tiên ta tính toán các số liệu của bài toán: $AC=CD=a\sqrt{2},SC=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=2\sqrt{2}a$

Gọi K là trung điểm của cạnh CD. Dựng trục đường tròn của đáy là đường thẳng đi qua K và song song với SA (chiều cao của hình chóp).

Gọi E là trung điểm của SC, qua E kẻ đường thẳng vuông góc với SC và cắt trục đường tròn của đáy tại I. Ta có I là tâm của mặt cầu của hình chóp ngoại tiếp S.CDE

Kẻ $EF//SA$ suy ra $EF\bot \left( ABCD \right)$ . Theo công thức đã nói ở trên ta có: $\Rightarrow {{R}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( IK-\frac{a\sqrt{6}}{2} \right)}^{2}}+2{{a}^{2}}$${{R}^{2}}=I{{E}^{2}}+\frac{S{{C}^{2}}}{4}=K{{F}^{2}}+{{\left( IK-EF \right)}^{2}}+\frac{S{{C}^{2}}}{4}$ $\Rightarrow {{R}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( IK-\frac{a\sqrt{6}}{2} \right)}^{2}}+2{{a}^{2}}$${{R}^{2}}=I{{K}^{2}}+K{{D}^{2}}=I{{K}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{2}$

Từ 2 phương trình trên ta có $IK=\frac{4a}{\sqrt{6}}$ $\Rightarrow R=\sqrt{{{\left( \frac{4a}{\sqrt{6}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=a\sqrt{\frac{19}{6}}$

• Cách 2: Sử dụng phương pháp tọa độ hóa.

Trong mặt phẳng không gian cho hệ tọa độ Oxyz với $O\equiv A$ , tia AD trùng với tia Oy, tia AB trùng với tia Ox, tia AS trùng với tia Oz

Khi đó ta có:$A\left( 0;0;0 \right),AB=a\Rightarrow B\left( a;0;0 \right)$,$AD=2a\Rightarrow D\left( 0;2a;0 \right),AS=a\sqrt{6}\Rightarrow S\left( 0;0;a\sqrt{6} \right)$, $BC=a\Rightarrow C\left( a;a;0 \right)$. Vì E là trung điểm của AD nên $E\left( 0;a;0 \right)$

Khi đó bài toán trở thành viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm S,E,D,C khi đã biết tọa độ của chúng. Để không phức tạp trong tính toán các em nên cho $a=1$ khi đó tọa độ các điểm sẽ là $E\left( 0;1;0 \right),C\left( 1;1;0 \right),D\left( 0;2;0 \right),S\left( 0;0;\sqrt{6} \right)$

Phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm đó có dạng: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2ax+2by+2cz+d=0$  (với $d={{a}^{3}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{R}^{2}}$)

Lần lượt thay tọa độ các điểm S,D,E,C vào phương trình trên ta có hệ phương trình sau:

$\left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} 1+2b+d=0  \\ 6+2\sqrt{6}c+d=0  \\ \end{matrix}  \\ 4+4b+d=0  \\ \end{matrix}  \\ 2+2a+2b+d=0  \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow $ $\left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} a=\frac{-1}{2}  \\ b=\frac{-3}{2}  \\ \end{matrix}  \\ c=\frac{-2\sqrt{6}}{3}  \\ \end{matrix}  \\ d=2  \\ \end{matrix} \right.$$\Rightarrow R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}=\sqrt{\frac{19}{6}}$