Đặt $HE=x$ và $KF=y$, theo giả thiết ta có $HE+KF=x+y=24$

Xét các tam giác vuông AHE và BKF, ta được $\left\{ \begin{align} & AE=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{E}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+25} \\ & BF=\sqrt{B{{K}^{2}}+K{{F}^{2}}}=\sqrt{{{y}^{2}}+49} \\ \end{align} \right.$

Vì độ dài cầu EF là không đổi nên để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất theo con đường AEFB thì $AE+EF+FB$ ngắn nhất. Hay $AE+BF$ ngắn nhất.

Ta có $P=AE+BF=\sqrt{{{x}^{2}}+25}+\sqrt{{{y}^{2}}+49}$ với $x+y=24,x>0,y>0$

Cách 1. Sử dụng bất đẳng thức $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\sqrt{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}\ge \sqrt{{{\left( a+c \right)}^{2}}+{{\left( b+d \right)}^{2}}}$ với mọi $a,b,c,d\in \mathbb{R}$

Vì $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\sqrt{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}\ge \sqrt{{{\left( a+c \right)}^{2}}+{{\left( b+d \right)}^{2}}}\Leftrightarrow {{\left( ad-bc \right)}^{2}}\ge 0,\forall a,b,c,d\in \mathbb{R}$

Sử dụng bất đẳng thức trên, ta được $P=\sqrt{{{x}^{2}}+{{5}^{2}}}+\sqrt{{{y}^{2}}+{{7}^{2}}}\ge \sqrt{{{\left( x+y \right)}^{2}}+{{\left( 5+7 \right)}^{2}}}=12\sqrt{5}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\frac{x}{5}=\frac{y}{7}$ suy ra $x=10,y=14$ nên $AE=5\sqrt{5}km$

Cách 2: Với $x+y=24\Leftrightarrow y=24-x\Rightarrow P=f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}+25}+\sqrt{{{x}^{2}}-48x+625}$, với $0

Có $f'\left( x \right)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+25}}+\frac{x-24}{\sqrt{{{x}^{2}}-48x+625}},\forall x\in \left( 0;24 \right);f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=10$

Do đó $\min f\left( x \right)=12\sqrt{5}\Leftrightarrow x=10\Rightarrow AE=5\sqrt{5}\,km$. Chọn C