Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là $S={{S}_{MNPQ}}+4xy$

Cạnh hình vuông $MN=\frac{MP}{\sqrt{2}}=\frac{40}{\sqrt{2}}=20\sqrt{2}\left( cm \right)$

$\Rightarrow S={{\left( 20\sqrt{2} \right)}^{2}}+4xy=800+4xy$            (1)

Ta có $2x=AB-MN=AB-20\sqrt{2}

Lại có $A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}=B{{D}^{2}}={{40}^{2}}\Rightarrow {{\left( 2x+20\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=1600$

$\Rightarrow {{y}^{2}}=800-80x\sqrt{2}-4{{x}^{2}}\Rightarrow y=\sqrt{800-80x\sqrt{2}-4{{x}^{2}}}$

Thế vào $\left( 1 \right)\Rightarrow S=800+4x\sqrt{800-80x\sqrt{2}-4{{x}^{2}}}=800+4\sqrt{800{{x}^{2}}-80{{x}^{3}}\sqrt{2}-4{{x}^{4}}}$

Xét hàm số $f\left( x \right)=800{{x}^{2}}-80{{x}^{3}}\sqrt{2}-4{{x}^{4}}$, với $x\in \left( 0;20-10\sqrt{2} \right)$ có

                                           $f'\left( x \right)=1600x-240{{x}^{2}}\sqrt{2}-16{{x}^{3}}=16x\left( 100-15x\sqrt{2}-{{x}^{2}} \right)$

Ta có $\left\{ \begin{align} & x\in \left( 0;20-10\sqrt{2} \right) \\ & f'\left( x \right)=0 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\in \left( 0;20-10\sqrt{2} \right) \\ & 16\text{x}\left( 100-15\text{x}\sqrt{2}-{{x}^{2}} \right)=0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=\frac{5\sqrt{34}-15\sqrt{2}}{2}$

Khi đó $x=\frac{5\sqrt{34}-15\sqrt{2}}{2}$ chính là giá trị thỏa mãn bài toán. Chọn C.