Tam giác ABC vuông tại $B\Rightarrow AC=AB\sqrt{2}\Leftrightarrow AB=BC=a$

Gọi I là trung điểm BC, G là trọng tâm của tam giác SBC

Nên $\frac{SG}{SI}=\frac{2}{3}$ mà MN song song với BC suy ra $\frac{SM}{SC}=\frac{SN}{SB}=\frac{SG}{SI}=\frac{2}{3}$

Do đó $\frac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ACB}}}=\frac{SM}{SC}.\frac{SN}{SB}=\frac{4}{9}\Rightarrow {{V}_{S.AMN}}=\frac{4}{9}{{V}_{S.ACB}}$

Mặt khác ${{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}.SA.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}.{{a}^{2}}=\frac{{{a}^{3}}}{6}$

Suy ra ${{V}_{S.AMN}}=\frac{4}{9}{{V}_{S.ACB}}=\frac{4}{9}.\frac{{{a}^{3}}}{6}=\frac{2{{a}^{3}}}{27}$.