Ta có $SI\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.SI.{{S}_{ABCD}}$

$AI=2ID\Rightarrow AI=\frac{2}{3}AD=\frac{2a}{3}\Rightarrow BI=\sqrt{A{{I}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\frac{a\sqrt{13}}{3}$

Xét tam giác vuông SB, $S{{I}^{2}}+I{{B}^{2}}=S{{B}^{2}}$

$\Leftrightarrow SI=\sqrt{S{{B}^{2}}-I{{B}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{7}}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{13}}{3} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{11}}{6}$

Do đó ${{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.SI.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{11}}{6}.{{a}^{2}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{11}}{18}$.