Đặt độ dài cạnh huyền là a, cạnh góc vuông bất kì là b

Khi đó cạnh góc vuông còn lại là $\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}$

Ta có $\left\{ \begin{align} & a+b=6 \\ & 2S=b\sqrt{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=b\sqrt{6-2b}\sqrt{6} \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \frac{2S}{\sqrt{6}}=\sqrt{b}\sqrt{b}\sqrt{6-2b}\le \sqrt{{{\left( \frac{b+b+6-2b}{3} \right)}^{3}}}=2\sqrt{2}$

Ta đã áp dụng BĐT Cauchy: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{{{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{2}}}\Rightarrow xyz\le \sqrt{{{\left( \frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}{3} \right)}^{3}}}$

Dấu bằng xảy ra khi $b=6-2b\Rightarrow b=2\Rightarrow a=4$