Tương tự câu 28 tôi đã giải , câu này chúng ta sẽ áp dụng phương pháp logarit để giải phương trình.

Điều kiện : $\cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$

Lấy ln 2 vế của phương trình đã cho ta có :

$\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)\ln e=\ln \tan x$

$\Leftrightarrow \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{2}}=\ln \left( \sin x \right)-\ln \left( \cos x \right)$

$\Leftrightarrow \sin x-\cos x=\sqrt{2}\ln \sin x-\sqrt{2}\ln \cos x$

$\Leftrightarrow \sin x-\sqrt{2}\ln \sin x=\cos x-\sqrt{2}\ln \cos x\left( * \right)$

Phương trình trên quen thuộc đúng không các bạn ? Chúng ta sẽ giải nó bằng phương pháp hàm đặc trưng. Xét hàm số

$f\left( t \right)=t-\sqrt{2}\ln t\left( t\in \left( 0;1 \right] \right)$ ta có

$f'\left( t \right)=1-\frac{\sqrt{2}}{t}<0$ với $\forall t\in \left( 0;1 \right]$ nên hàm số trên nghịch biến trên $\left( 0;1 \right]$. Từ (*) ta có

$\sin x=\cos x$ hay $\tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi $. Với $x\in \left[ 0;2\pi  \right]$ ta có $0\le \frac{\pi }{4}+k\pi \le 2\pi \Rightarrow k\in \left\{ 0;1 \right\}$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm