Để giải bài toán này có 2 cách đó là giải theo phương pháp khảo sát hàm số rồi tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng đoạn và giải theo phương pháp bất đẳng thức

TXĐ $x\in \left[ -2;2 \right]$ áp dụng bất đẳng  thức AM-GM ta có 

$x+\sqrt{4-{{x}^{2}}}\le \sqrt{2\left( {{x}^{2}}+{{\left( \sqrt{4-{{x}^{2}}} \right)}^{2}} \right)}=2\sqrt{2}$

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi:

$x=\sqrt{4-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow x=\sqrt{2}$