Phân tích:

• Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số: đường thẳng $y={{y}_{0}}$ đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ nếu $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)={{y}_{0}}$ hoặc $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)={{y}_{0}}$


• Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số : đường thẳng $x={{x}_{0}}$ là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ nếu $\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,=+\infty $ hoặc $\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,=-\infty $ hoặc $\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,=+\infty $ hoặc $\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,=-\infty $

Cách 1: Hàm số $y=\frac{x-1}{x+2}$ liên tục và xác định trên $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}$

Ta có $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1}{x+2}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{2}{x}}=1$ và

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1}{x+2}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{2}{x}}=1$

Nên $y=1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi $x\to -\infty ,x\to +\infty $

$\underset{x\to {{\left( -2 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{\left( -2 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1}{x+2}=+\infty $ và $\underset{x\to {{\left( -2 \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{\left( -2 \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-1}{x+2}=-\infty $ nên $x=-2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số khi $x\to {{\left( -2 \right)}^{+}}$ và $x\to {{\left( -2 \right)}^{-}}$

Cách 2: Tuy nhiên các bạn có thể nhớ cách tìm nhtôi tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$như sau: Đồ thị hàm số trên sẽ có TCĐ $x=-\frac{d}{c}$ và TCN là $x=-\frac{d}{c}$