Để tính được thể tích của khối hình chóp M.OBC ta cần tính được diện tích đáy OBC và khoảng cách từ M đến đáy.

Kẻ $MH//SO\left( H\in \left[ OC \right] \right)$, vì

$SO\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow MH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow MH\bot \left( OBC \right)$

Nên $d\left( M;\left( OBC \right) \right)=MH$. Áp dụng định lý Ta lét vào tam giác SOC ta có:

$\frac{MH}{SO}=\frac{MC}{SC}=\frac{1}{2}\Rightarrow MH=a\sqrt{2}$

Do $AC\bot BD$ nên

$O=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{O}^{2}}}=\sqrt{5{{a}^{2}}-{{\left( 2a \right)}^{2}}}=a$

Diện tích đáy là ${{S}_{OBC}}=\frac{1}{2}OB.OC=\frac{1}{2}a.2a={{a}^{2}}$

Thể tích khối  chóp cần tính là

$V=\frac{1}{3}MH.{{S}_{OBC}}=\frac{1}{3}\sqrt{2}a.{{a}^{2}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$