Gọi M là trung điểm của BC vì tam giác SBC là tam giác đều nên ta có $SH\bot BC\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Ta lại có $SH\bot BC,\left( SBC \right)\bot \left( ABC \right)$, $BC=\left( SBC \right)\cap \left( ABC \right)$ nên $SH\bot \left( ABC \right)$

Tam giác ABC vuông cân tại A và có cạnh  $BC=a$ nên $AB=AC=\frac{a}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{1}{2}.{{\left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{4}$

Vậy thể tích hình cần tính là

${{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}.SH.{{S}_{ABC}}=\frac{1}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}\frac{{{a}^{2}}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$