Phân tích:

Bài toán này khá nặng về tính toán , và các bạn cần phải nắm rõ cách viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm

Giả sử $M\left( {{x}_{0}};f\left( {{x}_{0}} \right) \right)$. Thuộc đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm $M\left( {{x}_{0}};f\left( {{x}_{0}} \right) \right)$ là $y=y'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right)$ hay

$y=\frac{1}{{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{2{{x}_{0}}+1}{{{x}_{0}}+1}$

$\Rightarrow d:\frac{x}{{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}+\frac{2{{x}_{0}}+2{{x}_{0}}+1}{{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}-y=0$

Theo bài ra ta có khoảng cách từ điểm $A\left( 2;4 \right)$ và $B\left( -4;-2 \right)$ đến đường thẳng d là bằng nhau nên ta có:

$\frac{\left| \frac{2x_{0}^{2}+2{{x}_{0}}+3}{{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}-4 \right|}{\sqrt{\frac{1}{{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{4}}}+1}}=\frac{\left| \frac{2x_{0}^{2}+2{{x}_{0}}+3}{{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}+2 \right|}{\sqrt{\frac{1}{{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{4}}}+1}}$

$\Rightarrow \left| \frac{2x_{0}^{2}+2{{x}_{0}}+3}{{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}-4 \right|=\left| \frac{2x_{0}^{2}+2{{x}_{0}}+3}{{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}+2 \right|$

Giải phương trình trên ta có ${{x}_{0}}=0,{{x}_{0}}=-2$, ${{x}_{0}}=1$. Từ đó ta chọn được kết quả của bài toán