Phân tích : Đặt ${{\sin }^{2}}x=\alpha ,\,\alpha \in \left[ 0;1 \right]$. Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với

${{2}^{\alpha }}+{{3}^{1-\alpha }}\ge a{{.3}^{\alpha }}\Rightarrow a\le \frac{{{2}^{\alpha }}+{{3}^{1-\alpha }}}{{{3}^{\alpha }}}\,\left( 1 \right)$

Xét phương trình $f\left( a \right)=\frac{{{2}^{\alpha }}+{{3}^{1-\alpha }}}{{{3}^{\alpha }}}$ với $\alpha \in \left[ 0;1 \right]$

Ta nhận thấy hàm số trên luôn nghịch biến trên $\left[ 0;1 \right]$ nên $\underset{\alpha \in \left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( \alpha  \right)=f\left( 0 \right)=4$

Như tôi đã trình bầy ở để trước thì điều kiện để $m\le f\left( x \right)$ đúng với $x\in D$ là $m\le \underset{x\in D}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)$ áp dụng điều đó ta có điều kiện để (1) xảy ra là $a\le \underset{a\in \left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( \alpha  \right)=4$