Phân tích: 

Ta có định lí trong SGK về sự tồn tại của GTLN, GTNN trên đoạn như sau :

Mọi hàm liên tục và xác đinh trên đoạn đều có GTLN và GTNN trên đoạn đó .

Hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3$ liên tục và xác định trong đoạn $\left[ 1;3 \right]$

Ta có $y'=3{{x}^{2}}-6x,y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0\notin \left[ 1;3 \right] \\ & x=2\in \left[ 1;3 \right] \\ \end{align} \right.$

Ta lần lượt so sánh các giá trị $y\left( 1 \right)=1,y\left( 2 \right)=-1$, $y\left( 3 \right)=3$. Vì hàm số liên tục và xác định trong đoạn $\left[ 1;3 \right]$nên ta có  giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trong đoạn $\left[ 1;3 \right]$ lần lượt là $M=y\left( 3 \right)=3,m=y\left( 2 \right)=-1$. Nên $M+m=3-1=2$