Kẻ $SH\bot AC$.

Do $\left( SAC \right)\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$

Hay SH là đường cao của hình chóp

Lại có ABCD là hình vuông nên $AC=BD=2a$

Xét tam giác SAC vuông tại S, tho định lý Pythago ta có:

$SA=\sqrt{A{{C}^{2}}-S{{C}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-3{{a}^{2}}}=a$

Xét tam giác SAC vuông tại S, đường cao SH. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có

$\frac{1}{S{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{S{{C}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{3{{a}^{2}}}=\frac{4}{3{{a}^{2}}}$

$\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Tính diện tích ABCD

Xét tam giác ABC vuông tại B ta có : $AC=2a$

$AB=AC\sin {{45}^{0}}=\frac{AC}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$

${{S}_{ABCD}}=A{{B}^{2}}={{(a\sqrt{2})}^{2}}=2{{a}^{2}}$

Tính thể tích: $V=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.2{{a}^{2}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$