Trên mặt phẳng Oxy ta lấy hai điểm $B(3;0);C(0;4)$ thì ba người mà ta đang xét nằm ở ba vị trí là $O;B;C$ và ta cần tìm điểm M thỏa mãn: $MO+MB+MC$ đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có hai cách làm:

+ Một là gọi $H;K$ là hình chiếu của M lên $OB;OC$ sau đó đặt $MH=x;MK=y$  rồi tiếp tục giải.

+ Hai là ta dựng các tam giác đều $OBX;OMI$ như hình vẽ. Khi đó, ta có: $\vartriangle OMB=\vartriangle \text{OIX}\Rightarrow \text{MO+MB+MC=CM+MI+IX}\ge CX$ xảy ra khi: $C,M,I,X$ thẳng hàng.

Điểm M là giao điểm của $CX$ và đường tròn ngoại tiếp $\vartriangle OBX$ . Ta có: $X(x,y)$ .

Khi đó: $XO=XB=OB=3\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=9 \\ & {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=9 \\ \end{align} \right.$  $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=\frac{3}{2} \\ & y=\pm \frac{3\sqrt{3}}{2} \\ \end{align} \right.$

Do X nằm dưới trục hoành nên: $X\left( \frac{3}{2};-\frac{3\sqrt{3}}{2} \right)$ .

Khi đó ta có: $CX:\frac{x-0}{\frac{3}{2}-0}=\frac{y-4}{-\frac{3\sqrt{3}}{2}-4}\Leftrightarrow x=\frac{-24+9\sqrt{3}}{37}(y-4)$

$(OBX):{{\left( x-\frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}=3$

Do đó, điểm M là nghiệm của hệ:

$\left\{ \begin{align} & x=\frac{-24+9\sqrt{3}}{37}(y-4) \\  & {{\left( x-\frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}=3 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{\left( \frac{-24+9\sqrt{3}}{37}(y-4)-\frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}=3$

$\Leftrightarrow {{\left( \frac{-24+9\sqrt{3}}{37} \right)}^{2}}{{\left( y+\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+\left( y+\frac{3\sqrt{3}}{2} \right)\left( y-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & y=-\frac{3\sqrt{3}}{2} \\ & y=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}{{\left( \frac{-24+9\sqrt{3}}{37} \right)}^{2}}}{{{\left( \frac{-24+9\sqrt{3}}{37} \right)}^{2}}+1} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & y=-\frac{3\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\frac{3}{2}\Rightarrow M\equiv X(loai) \\ & y=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}-{{\left( \frac{{{37}^{2}}-3{{(-24+9\sqrt{3})}^{2}}}{{{37}^{2}}} \right)}^{{}}}}{\frac{{{\left( -24+9\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{37}^{2}}}{{{37}^{2}}}} \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow y=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\left( -1088+1296\sqrt{3} \right)}{2188-432\sqrt{3}}\Rightarrow y=\frac{486-136\sqrt{3}}{547-108\sqrt{3}}$

$\Rightarrow x=\frac{-24+9\sqrt{3}}{37}.\frac{-1702+296\sqrt{3}}{547-108\sqrt{3}}=\frac{(-24+9\sqrt{3})(-46+8\sqrt{3})}{547-108\sqrt{3}}\Rightarrow x=\frac{1320-606\sqrt{3}}{547-108\sqrt{3}}$

Do đó ta có điểm: $M\left( \frac{1320-606\sqrt{3}}{547-108\sqrt{3}};\frac{486-136\sqrt{3}}{547-108\sqrt{3}} \right)$

$M(0,7512;0,6958)$

Nên: $OM=BM+CM\approx 6,77km$ .