Gọi $z=a+bi\Rightarrow \bar{z}=a-bi$

$a-bi={{(a+bi)}^{2}}+1\Leftrightarrow \left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}-a+1 \right)+(2ab+b)i=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{a}^{2}}-a+1={{b}^{2}} \\  & (2a+1)b=0 \\ \end{align} \right.$

Từ phương trình 2, ta có 2 trường hợp:

Nếu $b=0,{{a}^{2}}-a+1=0$ (vô nghiệm)

$a=\frac{-1}{2}\Rightarrow b=\sqrt{\frac{7}{4}}\Rightarrow {{z}^{2}}+z+1=1-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{7}}{2}i+\frac{1}{4}-\frac{7}{4}-\frac{\sqrt{7}}{2}i=-1$

Vậy modun của số phức là 1.