Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm phương trình:

${{x}^{2}}-mx-1=0,\Delta \ge 0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+4\ge 0\forall m$

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn:

Theo định lý Viet kết hợp yêu cầu: $\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m \\  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-1 \\  & {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \\ \end{align} \right.$

Ta có:

$S=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{(mx+2-{{x}^{2}}-1)dx}=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{(mx+1-{{x}^{2}})dx}$

$=(\left. \frac{m{{x}^{2}}}{2}-\frac{{{x}^{3}}}{3}+x) \right|_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}=\frac{m{{x}_{2}}^{2}}{2}-\frac{{{x}_{2}}^{3}}{3}+{{x}_{2}}-\frac{m{{x}_{1}}^{2}}{2}+\frac{{{x}_{1}}^{3}}{3}-{{x}_{1}}$

$=({{x}_{2}}-{{x}_{1}})\left[ \frac{{{m}^{2}}}{2}+1-\frac{1}{3}({{m}^{2}}+1) \right]=\sqrt{{{m}^{2}}+4}\left( \frac{{{m}^{2}}}{6}+\frac{2}{3} \right)$

S có GTNN khi $m=0$ .