Phân tích: Đây là bài toán khá là khó, đòi hỏi áp dụng nhiều kĩ thuật phân tách cũng như tính tích phân. Với dạng tích phân với số $\frac{ax+b}{c{{x}^{2}}+dx+e}$ thì phương pháp làm như sau:

Ta tách biểu thức thành 2 thành phần đó là: $\frac{k(2cx+d)}{c{{x}^{2}}+dx+e}=\frac{kd(c{{x}^{2}}+dx+e)}{c{{x}^{2}}+dx+e}$ và$\frac{k}{c{{x}^{2}}+dx+e}$

Áp dụng ta tách biểu thức thành: $\frac{5(2x+3)}{2({{x}^{2}}+3x+2)};\frac{-1}{2({{x}^{2}}+3x+2)}$ ta được:

$I=\int\limits_{0}^{2}{\frac{5(2x+3)}{2({{x}^{2}}+3x+2)}dx-\int\limits_{0}^{2}{\frac{1}{2({{x}^{2}}+3x+2)}}dx}$

$=\int\limits_{0}^{2}{\frac{5}{2({{x}^{2}}+3x+2)}d({{x}^{2}}+3x+2)-\int\limits_{0}^{2}{\frac{(x+2)-(x+1)}{2(x+2)(x+1)}}dx}$

$\left. =\frac{5}{2}\ln ({{x}^{2}}+3x+2\left. ) \right|_{0}^{2}-\frac{1}{2}\left[ \ln (x+1)-\ln (x+2) \right] \right|_{0}^{2}$

$=\frac{5}{2}\ln 12-\frac{5}{2}\ln 2-\frac{1}{2}\ln 3+\frac{1}{2}\ln 4-\frac{1}{2}\ln 2=\frac{5}{2}\ln 3+\frac{5}{2}\ln 4-3\ln 2+\frac{1}{2}\ln 4-\frac{1}{2}\ln 3$

$=2\ln 3+3\ln 4-3\ln 2=2\ln 3+3\ln 2$