Để hàm số đồng biến trên$\left( 0;+\infty  \right)$ thì: $y'\ge 0\forall x>0$

Ta có$y'=3{{x}^{2}}-12x+m$

Ta thấy rằng đồ thị của $y'$ là một parabol có đáy là một cực tiểu. Để  $y'\ge 0\forall x>0$ điểm cực tiểu này phải có tung độ lớn hơn 0.

Ta có $y''=6x-12$

$y''=0$ khi $x=2$ . Khi đó $y'(2)=-12+m$

Để $y'\ge 0\forall x>0$ thì $m\ge 12$

Để hàm số đồng biến trên
(
0
;
+
∞
)
thì:
y
′
≥
0
∀
x
>
0

Ta có
y
′
=
3
x
2
−
12
x
+
m

Ta thấy rằng đồ thị của
y
′
là một parabol có đáy là một cực tiểu. Để
y
′
≥
0
∀
x
>
0
điểm cực tiểu này phải có tung độ lớn hơn 0.


Ta có
y
′′
=
6
x
−
12

y
′′
=
0
khi
x
=
2
. Khi đó
y
′
(
2
)
=
−
12
+
m

Để
y
′
≥
0
∀
x
>
0
thì
m
≥
12