Bài toán này ta có thể giải với 2 cách:

Cách 1: Cách kinh điển, cơ bản của hàm số $y=x+\sqrt{5-{{x}^{2}}}$

Ta xét trên miền xác định của hàm số $\left[ -\sqrt{5};\sqrt{5} \right]$

Ta có $y'=1-\frac{x}{\sqrt{5-{{x}^{2}}}}$

$y'=0\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{5-{{x}^{2}}}}=1$

$\Leftrightarrow x=\sqrt{5-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x>0 \\ & {{x}^{2}}=\frac{5}{2} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{5}{2}}$

Xét $y(-\sqrt{5})\approx -2,2,y(\sqrt{\frac{5}{2}})=\sqrt{10\approx 3,2},y(\sqrt{5})\approx 2,2$

Vậy GTLN của hàm số là $\sqrt{10}$

Cách 2: Cách này tương đối nhanh nhưng nó không có một cách làm chung cho tất cả bài toán.

Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 số ta có:

${{(x+\sqrt{5-{{x}^{2}}})}^{2}}\le ({{1}^{1}}+{{1}^{1}})({{x}^{2}}+5-{{x}^{2}})\Leftrightarrow {{(x+\sqrt{5-{{x}^{2}}})}^{2}}\le 10\Leftrightarrow (x+\sqrt{5-{{x}^{2}}})\le \sqrt{10}$

Dấu “=” xảy ra khi $x=\sqrt{\frac{5}{2}}$