Hướng dẫn giải:

$\begin{align}  & \sqrt{3}\sin 7x-\cos 7x=\sqrt{2} \\ & \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 7x-\frac{1}{2}\cos 7x=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ & \Leftrightarrow \sin (7x-\frac{\pi }{6})=\sin (\frac{\pi }{4}) \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   7x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{4}+k2\pi   \\   7x-\frac{\pi }{6}=\frac{3\pi }{4}+k2\pi   \\\end{matrix} \right.(k\in \mathbb{Z}) \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=\frac{5x}{84}+\frac{k2\pi }{7}  \\   x=\frac{11\pi }{84}+k2\pi   \\\end{matrix} \right.(k\in \mathbb{Z}) \\\end{align}$

Với $x=\frac{5x}{84}+\frac{k2\pi }{7}(k\in \mathbb{Z})$ta có k=2 thỏa mãn.

Với $x=\frac{11\pi }{84}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$ta có k=1,2 thỏa mãn.

Vậy có 3 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài. Chọn C.