Do a, b tỉ lệ nghịch với $\frac{1}{3};\frac{1}{2};a,c$ tỉ lệ nghịch với $\frac{1}{5};\frac{1}{7}$ nên ta có:

$\frac{b}{2}=\frac{a}{3};\frac{a}{5}=\frac{c}{7}\Rightarrow \frac{b}{10}=\frac{a}{15}=\frac{c}{21}$

Theo đề bài và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{a}{15}=\frac{b}{10}=\frac{c}{21}=\frac{a+b+c}{15+10+21}=\frac{184}{46}=4$

$\Rightarrow \frac{{{a}^{2}}}{{{15}^{2}}}=\frac{{{b}^{2}}}{{{10}^{2}}}=\frac{{{c}^{2}}}{{{21}^{2}}}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{{{15}^{2}}+{{10}^{2}}-{{21}^{2}}}={{4}^{2}}$

$\Rightarrow \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{-116}=16\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}=-116.16=-1856$