Gọi 3 cạnh tương ứng của 3 đường cao ${{h}_{a}},{{h}_{b}},{{h}_{c}}$lần lượt là a,b,c ( a,b,c >0)

Ta có:

$\frac{a.{{h}_{a}}}{2}=\frac{b.{{h}_{b}}}{2}=\frac{c.{{h}_{c}}}{2}$

$\Rightarrow a.{{h}_{a}}=b.{{h}_{b}}=c.{{h}_{c}}$

$\Rightarrow 4a.\frac{{{h}_{a}}}{4}=5b.\frac{{{h}_{b}}}{5}=6c.\frac{{{h}_{c}}}{6}$

Mà $\frac{{{h}_{a}}}{4}=\frac{{{h}_{b}}}{5}=\frac{{{h}_{c}}}{6}$suy ra: 4a = 5b = 6c

$\Rightarrow \frac{a}{\frac{1}{4}}=\frac{b}{\frac{1}{5}}=\frac{c}{\frac{1}{6}}$ . Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{a}{\frac{1}{4}}=\frac{b}{\frac{1}{5}}=\frac{c}{\frac{1}{6}}=\frac{a+b+c}{\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}}=\frac{37}{\frac{37}{60}}=60$

Suy ra:

a = 15cm;         b = 12 cm;         c = 10 cm.

Vậy độ dài cạnh nhỏ nhất của tam giác là: 10 cm