Chọn đáp án A.

Phương trình hoành độ giao điểm ${{x}^{3}}-x=x-{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}

  & x=-2 \\

 & x=0 \\

 & x=1 \\

\end{align} \right.$

Diện tích cần tính là:

$S=\int\limits_{-2}^{1}{\left| {{x}^{3}}-x-x+{{x}^{2}} \right|dx=\int\limits_{-2}^{0}{\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-2x \right)dx+\int\limits_{0}^{1}{\left( -{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x \right)dx=\frac{8}{3}+\frac{5}{12}=\frac{37}{12}}}}$