(d): $y=\left( 2m-1 \right)x+m-1$
Điều kiện: $2m-1\ne 0\Leftrightarrow m\ne \frac{-1}{2}$
Gọi A là giao điểm của (d) và Ox $\Rightarrow A\left( \frac{-m+1}{2m-1};0 \right)$
Gọi B là giao điểm của (d) và Oy $\Rightarrow B\left( 0;m-1 \right)$
Gọi H là chân đường cao kẻ từ O xuống (d)
Để khoảng cách từ O đến (d) bằng $\sqrt{3}$ thì $OH=\sqrt{3}$
Khi đó $OA=\left| \frac{-m+1}{2m-1} \right|$; $OB=\left| m-1 \right|$
Xét ∆OAB vuông tại O, đường cao AH có:
$\frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{B}^{2}}}$
$\Rightarrow \frac{1}{3}=\frac{1}{{{\left( \frac{-m+1}{2m-1} \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( m-1 \right)}^{2}}}$ (điều kiện: $m\ne 1$)
$\Leftrightarrow \frac{1}{3}=\frac{{{\left( 2m-1 \right)}^{2}}}{{{\left( m-1 \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( m-1 \right)}^{2}}}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{3}=\frac{4{{m}^{2}}-4m+1+1}{{{m}^{2}}-2m+1}$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m+1=12{{m}^{2}}-12m+6$
$\Leftrightarrow 11{{m}^{2}}-10m+5=0$
$\Leftrightarrow 11\left( {{m}^{2}}-2.\frac{5}{11}m+\frac{25}{121} \right)+\frac{30}{11}=0$
$\Leftrightarrow 11{{\left( m-\frac{5}{11} \right)}^{2}}+\frac{30}{11}=0$ (vô nghiệm)
Vậy không tìm được m để khoảng cách từ O đến (d) bằng $\sqrt{3}$