a) Gọi I là trung điểm của OA.
Vì AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) $\Rightarrow $$\widehat{ACO}=90{}^\circ $ $\Rightarrow $ C thuộc đường tròn tâm I, đường kính OA. (1)
Vì AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) $\Rightarrow $$\widehat{ABO}=90{}^\circ $ $\Rightarrow $ B thuộc đường tròn tâm I, đường kính OA. (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow $A, B, O, C cùng thuộc đường tròn tâm I đường kính OA.
b)
Chu vi ADE = AD + DE + AE = AD + DM + ME + AE
DM và DB là hai tiếp tuyến của hình tròn $\Rightarrow $DM = DB
EC và EM là hai tiếp tuyến của đường tròn $\Rightarrow $ EC = ME
Vậy, chu vi tam giác ADE = AD + DB + EC + AE = AB + AC = 2AB (đpcm)
(AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn $\Rightarrow $AB = AC)
c)
Ta có:
$\widehat{BOD}=\widehat{DOM}=\frac{1}{2}\widehat{BOM}$(tính chất đường đường tiếp tuyến)
$\widehat{COE}=\widehat{EOM}=\frac{1}{2}\widehat{COM}$(tính chất đường đường tiếp tuyến)
$\Rightarrow \widehat{DOM}+\widehat{EOM}=\widehat{DOE}=\frac{1}{2}(\widehat{BOM}+\widehat{COM})=\frac{1}{2}\widehat{BOC}$
Mà $\frac{1}{2}\widehat{BOC}=\widehat{AOC}$
$\widehat{AOC}=\widehat{OQE}$(cùng phụ với $\widehat{COQ}$)
$\Rightarrow $$\widehat{OQE}=\widehat{DOE}$
Xét $\Delta OQE$và $\Delta DOE$ có:
$\widehat{OQE}=\widehat{DOE}$(cm trên)
$\widehat{QEO}=\widehat{OED}$(tính chất đường tiếp tuyến(
$\Rightarrow $$\Delta OQE$$\backsim $$\Delta DOE$ (g.g)
Tương tự: $\Delta DPO\backsim \Delta DOE$(g.g)
$\Rightarrow $$\Delta OQE$$\backsim \Delta DPO$
$\begin{align}
& \Rightarrow \frac{OQ}{PD}=\frac{QE}{PO}\Rightarrow PD.QE=OP.OQ=\frac{1}{2}PQ.\frac{1}{2}PQ \\
& \Rightarrow 4PD.QE=P{{Q}^{2}}(\text{dpcm)} \\
\end{align}$