a) Vì CD, CB là hai tiếp tuyến của (O) nên OC là phân giác của $\widehat{DOB}$
$\Rightarrow \widehat{DOC}=\widehat{COB}$
Mà $OC\bot OE$nên $\widehat{EOD}+\widehat{DOC}=90{}^\circ $, $\widehat{AOE}+\widehat{BOC}=90{}^\circ $
Suy ra $\widehat{AOE}=\widehat{EOD}$
Xét ∆AOE và ∆DOE có:
OE chung
$\widehat{AOE}=\widehat{EOD}$ (chứng minh trên)
OA = OD (=R)
Suy ra ∆AOE = ∆DOE (c.g.c) $\Rightarrow \widehat{EAO}=\widehat{EDO}$ (hai góc tương ứng)
Mà $\widehat{EDO}=90{}^\circ $ nên $\widehat{EAO}=90{}^\circ $
$\Rightarrow AE\bot AO$$\Rightarrow $AE là tiếp tuyến của (O)
b) Chu vi ∆OMH = OM + MH + OH = R + MH + OH
Ta có: ${{\left( MH+OH \right)}^{2}} \le 2\left( M{{H}^{2}}+O{{H}^{2}} \right)\Leftrightarrow {{\left( MH+OH \right)}^{2}} \le 2.O{{M}^{2}}\Leftrightarrow \Leftrightarrow {{\left( MH+OH \right)}^{2}} \le 2{{R}^{2}}$
$\Rightarrow MH+OH \le \sqrt{2}R$
Khi đó chu vi ∆OMH $ \le R+\sqrt{2}R=\left( 1+\sqrt{2} \right)R$
Dấu “=” xảy ra khi MH = OH hay $\widehat{MOH}=45{}^\circ $$\Rightarrow $M nằm chính giữa cung AB
Vậy GTLN của chu vi ∆OMH là $\left( 1+\sqrt{2} \right)R$khi M nằm chính giữa cung AB