Xét $A=\frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+x+1}$
$\Leftrightarrow A-2=\frac{{{x}^{2}}+1-2({{x}^{2}}+x+1)}{{{x}^{2}}+x+1}$
$\Leftrightarrow A-2=\frac{-{{x}^{2}}+2x-1}{{{x}^{2}}+x+1}$
$\Leftrightarrow A-2=\frac{-{{(x-1)}^{2}}}{{{x}^{2}}+x+1}$
Ta có:
${{x}^{2}}+x+1={{x}^{2}}+2.x.\frac{1}{2}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}={{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}>0$
${{\left( x-1 \right)}^{2}}\ge 0$
Nên $\frac{-{{(x-1)}^{2}}}{{{x}^{2}}+x+1}\le 0$
$\Leftrightarrow A-2\le 0$
$A\le 2$
Vậy A đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi x – 1 = 0 $\Leftrightarrow x=1$