Vì I là trung điểm của $AN\text{ }=>\text{ }OI\bot AN$

$=>\widehat{AIO}\text{ }=\widehat{ANB}\text{ }=\text{ }{{90}^{o}}$

Do Bx là tiếp tuyến với (O) tại B nên

$\widehat{NBM}\text{ }=\widehat{IAO}\text{ }=\text{ }\frac{1}{2}S\overset\frown{BN}$

Suy ra $\Delta AIO\sim \Delta BMN\text{ }\left( g.g \right)$

Vì $\widehat{OIM}\text{ }=\widehat{OBM}\text{ }=\text{ }{{90}^{o}}~$ nên các điểm B, O, I, M cùng thuộc đường tròn đường kính MO, suy ra $\widehat{BOM}\text{ }=\widehat{BIN}$

Xét$~\Delta OBM$và$~\Delta INB$ có:

$\widehat{OBM}\text{ }=\widehat{INB}$

$\widehat{BOM}\text{ }=\widehat{BIN}$

Suy ra $\Delta OBM\sim \Delta INB\text{ }\left( g.g \right)$