Vì $M{{A}^{2}}=MB.MC=>\frac{MA}{MB}=\frac{MC}{MA}$

Xét ΔMAC và ΔMBA có

$\widehat{M}$chung

$\frac{MA}{MB}=\frac{MC}{MA}$

$\Rightarrow \Delta MAC\sim \Delta MBA$ (c.g.c)

$=>\widehat{MAB}=\widehat{MCA}$ (1)

Kẻ đường kính AD của (O)

Ta có $\widehat{ACB}=\widehat{ADB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB )

Mà $\widehat{MAB}=\widehat{MCA}$ (chứng minh trên)

Suy ra $\widehat{MAB}=\widehat{ADB}$ (3)

Lại có $\widehat{ABD\text{ }}={{90}^{o}}~$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$=>\widehat{BAD}+\widehat{BDA}={{90}^{o}}~$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\widehat{BAD}+\widehat{MAB}={{90}^{o}}~$hay $\widehat{MAO}={{90}^{o}}$

$=>OA\bot MA$

Do A$\in $(O)

Suy ra: MA là tiếp tuyến của (O).