Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp lục giác đều ABCDEF.

Xét ∆OAB và∆OBC có OA = OB = OC  (do A, B, C $\in $ (O)) và AB = BC (tính chất lục giác đều) => ∆OAB =∆OBC (c.c.c)

$\Rightarrow \widehat{AOB}=\widehat{BOC}$

Lí luận tương tự ta có :

$\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COD}=\widehat{DOE}=\widehat{EOF}=\widehat{FOA}$

Mà $\widehat{AOB}+\widehat{BOC}+\widehat{COD}+\widehat{DOE}+\widehat{EOF}+\widehat{FOA}={{360}^{0}}$

$\Rightarrow \widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COD}=\widehat{DOE}=\widehat{EOF}=\widehat{FOA}=\frac{{{360}^{0}}}{6}={{60}^{0}}$

Xét $\Delta $ AOB có OA = OB

$\Rightarrow \Delta $ AOB cân tại O, mà $\widehat{AOB}={{60}^{0}}$ (cmt)

$\Rightarrow $ $\Delta $ AOB là tam giác đều

$\Rightarrow $ OA = AB = lOcm $\Rightarrow $ bán kính của đường tròn ngoại tiếp lục giác đều ABCDEF là 10cm.

Từ O kẻ đường vuông góc với AB cắt AB tại H.

Vì $\Delta $AOB là tam giác đều $\Rightarrow $ $\widehat{HBO}=\widehat{ABO}={{60}^{0}}$

Xét $\Delta $HBO vuông tại H có

HO = BO. sin$\widehat{HBO}$ = BO. $\sin {{60}^{0}}$ = $\frac{BO.\sqrt{3}}{2}=\frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$ (cm)

Vì OH $\bot $ AB tại H nên AB tiếp xúc với đường tròn (O ; OH) tại H, mà OH = $5\sqrt{3}$cm

$\Rightarrow $ AB tiếp xúc với đường tròn (O ; $5\sqrt{3}$cm).

Lí luận tương tự ta có các cạnh của lục giác đều ABCDEF đều tiếp xúc với đường tròn (O ; $5\sqrt{3}$cm) => (O; $5\sqrt{3}$cm) là đường tròn nội tiếp lục giác đều ABCDEF (định nghĩa)  $\Rightarrow $bán kính của đường tròn nội tiếp lục giác đều ABCDEF là $5\sqrt{3}$ cm.

Đáp án đúng là: D