Bài giải:

${{9}^{-{{x}^{2}}+2x+1}}-{{34.15}^{2x-{{x}^{2}}}}+{{25}^{2x-{{x}^{2}}+1}}=0$

$\Leftrightarrow {{9.9}^{-{{x}^{2}}+2x}}-{{34.15}^{2x-{{x}^{2}}}}+{{25.25}^{2x-{{x}^{2}}}}=0$

$\Leftrightarrow 9.{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{2(2x-{{x}^{2}})}}-34.{{\left( \frac{3}{5} \right)}^{2x-{{x}^{2}}}}+25=0$

Đặt $t={{\left( \frac{3}{5} \right)}^{2x-{{x}^{2}}}},t>0$. Ta có phương trình: $9{{t}^{2}}-34t+25=0\Leftrightarrow t=1;\text{ }t=\frac{25}{9}$  

Với $t=1\Rightarrow {{\left( \frac{3}{5} \right)}^{2x-{{x}^{2}}}}=1\Leftrightarrow 2x-{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow x=0;x=2$

Với $t=\frac{25}{9}\Rightarrow {{\left( \frac{3}{5} \right)}^{2x-{{x}^{2}}}}={{\left( \frac{3}{5} \right)}^{-2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-2=0\Leftrightarrow x=1\pm \sqrt{3}$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là: $S=0+2+1+\sqrt{3}+1-\sqrt{3}=4$