Giải.

Tập xác định $D=\mathbb{R}.$

Ta có ${y}'=\left( 2ax+b \right){{e}^{a{{x}^{2}}+bx+c}}.$

Hàm số đã cho đạt cực trị tại $x=1$ suy ra ${y}'\left( 1 \right)=0\Leftrightarrow \left( 2a+b \right){{e}^{a+b+c}}=0\Leftrightarrow 2a+b=0.$

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $e$ nên đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( 0;e \right)$

Hay $e={{e}^{c}}\Leftrightarrow c=1$.

Suy ra $y\left( 2 \right)={{e}^{4a+2b+c}}={{e}^{2\left( 2a+b \right)+c}}={{e}^{1}}=e.$