Bài giải:

Ax, By là các tiếp tuyến của (O)

$\Rightarrow \text{Ax}\bot \text{AB;By}\bot \text{AB}$

Ax, MN là các tiếp tuyến của đường tròn, chúng cắt nhau tại M $\Rightarrow$ OM là đường phân giác của góc $\widehat{AOD}$

By, MN là các tiếp tuyến của đường tròn, chúng cắt nhau tại N $\Rightarrow$ ON là đường phân giác của góc $\widehat{BOD}$

$\widehat{AOM}=\widehat{MOD};\widehat{BON}=\widehat{DON}$

Ta có:

$\widehat{AOM}+\widehat{DOM}+\widehat{BON}+\widehat{DON}={{180}^{o}}\Rightarrow 2.(\widehat{DOM}+\widehat{DON})={{180}^{o}}$

$\Rightarrow \widehat{MON}={{90}^{o}}$

Xét tam giác OAM vuông tại A có:

$\widehat{OMA}+\widehat{AOM}={{90}^{o}}$

Mà: $\widehat{AOM}+\widehat{MON}+\widehat{BON}={{180}^{o}}\Rightarrow \widehat{AOM}+\widehat{BON}={{90}^{o}}$

$\Rightarrow \widehat{OMA}=\widehat{BON}$

Xét $\Delta OAM$ và $\Delta NBO$ có:

$\widehat{A}=\widehat{B}={{90}^{o}};\widehat{OMA}=\widehat{BON}$(cmt)

$\Rightarrow \Delta OAM$đồng dạng với $\Delta NBO$

 $\Rightarrow \frac{OA}{BN}=\frac{AM}{OB}\Rightarrow AM.BN=OA.OB={{R}^{2}}={{4}^{2}}=16$