Bài giải:

Gọi H là giao điểm của OA và MN.

AM, AN là 2 tiếp tuyến của đường tròn (M, N là các tiếp điểm)

Suy ra OA là phân giác của góc $\widehat{MON}$

Xét tam giác OMN cân tại O (OM = ON = R ) có OA là phân giác của góc $\widehat{MON}$

$\Rightarrow $ OH cũng là đường trung trực của MN

Xét tam giác OAM vuông góc với M, có MH là đường cao ($MH\bot OH\Rightarrow MH\bot OA$)

$\Rightarrow A{{M}^{2}}=O{{A}^{2}}-O{{M}^{2}}=5{}^{2}-{{3}^{2}}=16$ $\Rightarrow AM=4cm$

$MH.OA=OM.AM\Rightarrow MH.5=3.4\Rightarrow MH=2,4cm$

$\Rightarrow MN=2.2,4=4,8cm$