Bài giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

AM là trung tuyến nên AM = MB = MC

Suy ra: tam giác BMA cân tại M; tam giác AMC cân tại M.

Xét tam giác BMA cân tại M ta có: ME $\bot $ AB

$\Rightarrow $ BE = EA = $\frac{1}{2}$ AB = $\frac{1}{2}$. 5 = $\frac{5}{2}$ (cm)

Xét tam giác AMC cân tại M ta có:

MF $\bot $AC nên AF = FC = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$. 12 = 6 (cm)

Tứ giác AEMF có: $\widehat{AEM}=\widehat{MFA}=\widehat{EAF}={{90}^{0}}$ nên là hình chữ nhật.

Diện tích tứ giác AEMF là: $\frac{5}{2}$. 6 = 15 ($c{{m}^{2}}$)

Đáp số: 15 $c{{m}^{2}}$