Bài giải:

P = $\frac{1}{{{x}^{2}}+x+1}$

P = $\frac{1}{{{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}}$

Ta có: ${{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}\ge$ 0 với mọi x

$\Rightarrow {{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}$ $\ge$ $\frac{3}{4}$ với mọi x

$\Rightarrow$ $\frac{1}{{{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}}$  $\le$ $\frac{4}{3}$   với mọi x

Để P có giá trị lớn nhất khi x + $\frac{1}{2}$ = 0

$\Rightarrow$ x= -0,5

Vậy P có giá trị lớn nhất khi x =-0,5