Bài giải:

Ta có: a + b + c = 0

$\Rightarrow$ a + b = - c

$\Rightarrow$(a + b)² = c²

$\Rightarrow$a² + 2ab + b² = c²

CMTT: b² = a² + 2ac + c²

a² = b² + 2bc + c²

M = $\frac{2ab}{{{a}^{2}}+(b+c)(b-c)}+\frac{2bc}{{{b}^{2}}+(c+a)(c-a)}+\frac{2ca}{{{c}^{2}}+(a+b)(a-b)}$

M = $\frac{2ab}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}+\frac{2bc}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}+\frac{2ac}{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}$

Thay c² = a² + 2ab + b² ; b² = a² + 2ac + c²; a² = b² + 2bc + c² vào biểu thức M ta có:

M = $\frac{2ab}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{a}^{2}}-2ab-{{b}^{2}}}+\frac{2bc}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}-2bc-{{c}^{2}}}+\frac{2ca}{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}-{{a}^{2}}-2ac-{{c}^{2}}}$

 M = -1 + (-1) + (-1) = -3

Vậy giá trị của biểu thức M là: -3