Bài giải:

Gọi G là giao điểm của BM và CN.

N là trung điểm của AB nên AN = NB = 9,5 (cm)

M là trung điểm của AC nên AM = MC = 11 (cm)

G là giao điểm của BM và CN nên BG = 2. GM; CG = 2. NG.

Xét tam giác BGN vuông tại G ta có:

NG² + GB² = NB² (định lý Pi-ta-go)

$\Rightarrow$ ($\frac{1}{2}$ GC)² + GB² = 9,5² = 90,25 = $\frac{1}{4}$ GC² + GB²

Chứng minh tương tự: ($\frac{1}{2}$ GB)² + GC² = 11² = 121 = $\frac{1}{4}$ GB² + GC²

Cộng hai vế ta có: $\frac{5}{4}$ . GC² + $\frac{5}{4}$ . GB² = 211,25

$\Rightarrow$GC² + GB² = 169

Xét tam giác vuông CGB vuông tại G ta có:

GC² + GB² = CB²

Suy ra: 169 = CB².

Vậy độ dài cạnh BC là: 13 cm.