Bài giải:

P = (1 + x⁴) (1 + y⁴) + 4(xy - 1)(3xy - 1)

P = 1 + x⁴ + y⁴ + x⁴ y⁴ + 12x² y² – 16xy + 4

P = x⁴y⁴  + (x⁴ + y⁴ + 2x²y²) + 10x²y² – 16xy + 5

P = x⁴y⁴ + (x² + y²) + 10x²y² – 16xy + 5

Mà:  x + y = 2 nên x² + y² + 2xy = 4

Do đó: x² + y² = 4 – 2xy

Thay x² + y² = 4 – 2xy vào biểu thức P ta có:

P = x⁴y⁴ + (4 – 2xy)² + 10x²y² – 16xy + 5

P = x⁴y⁴ + 16 – 16xy + 4x²y² + 10x²y² – 16xy + 5

P = (x⁴y⁴ – 2x²y² + 1) + (16x²y² – 32xy + 16) + 4

P = (x²y² – 1)² + 16(xy – 1)² + 4

Ta có: (x²y² – 1)² + 16(xy – 1)² $\ge $ 0  với mọi x,y

Nên (x²y² – 1)² + 16(xy – 1)² + 4 $\ge $ 4  với mọi x,y

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là: 4