Bài giải:

Từ A kẻ AH $\bot $ BC

Vì tam giác ABC cân tại A nên H là trung điểm của BC.

Tam giác MBC đều có các cạnh bằng 30 cm nên tam giác MBC là tam giác đều.

Mà M là trung điểm của BC nên MH $\bot $ BC

Từ đó, suy ra A, M, H thẳng hàng.

H là trung điểm của BC nên BH = HC = $\frac{BC}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = 15 (cm)

Xét tam giác ABH vuông tại H ta có:

BH² + MH² = BM²

Suy ra: MH² = BM² – BH² = 30² – 15² = 675

$\Rightarrow $ MH = 15.$\sqrt{3}$ (cm)

S_MBC = $\frac{1}{2}$. 15.$\sqrt{3}$ . 30 = 225. $\sqrt{3}$(cm²)

Xét tam giác ABH vuông tại H ta có:

AB² = AH² + BH²

Suy ra: AH² = AB² – BH² = 39² – 15² = 1296

$\Rightarrow $AH = 36 (cm)

S_ABC = $\frac{1}{2}$ AH. BC = $\frac{1}{2}$. 36 . 30 = 540 (cm²)

Chưng minh: $\Delta $ ABM = $\Delta $ACM nên S_ABM = S_ACM

Ta có: S_ABC = S_ABM + S_ACM + S_MBC = 2. S_AMB + S_MBC

$\Rightarrow $ S_{AMB =} (S_ABC - S_MBC) : 2 = (540 - 225. $\sqrt{3}$) : 2= 75 (cm²)

Vậy đáp án đúng là: B.