Bài giải:

Gọi độ dài cạnh của tam giác đều là x (cm)

Từ A kẻ AH vuông góc với BC.

Vì ABC là tam giác đều nên AH là đường trung tuyến của tam giác ABC

$\Rightarrow $ BH = HC = $\frac{x}{2}$ (cm)

Xét tam giác vuông tại H ta có:

BH² + AH² = AB²

$\Rightarrow $AH² = AB² – BH² = x² - ${{\left( \frac{x}{2} \right)}^{2}}$ = $\frac{3}{4}$ x²

AH = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ x

Diện tích tam giác ABC là: $\frac{1}{2}$ AH. BC = $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ x. x = $\frac{9\sqrt{3}}{4}$

$\Rightarrow $x² = 9

$\Rightarrow $x = 3 (cm)

Vậy độ dài đường trung bình của tam giác đều đó là: 3 : 2 = 1,5 (cm)