Bài giải:

 Ta có: x² + y²  $\ge $ 2xy  với mọi x, y > 0

Suy ra: 20 $\ge $ 2xy 

$\Rightarrow $ 10  $\ge $ xy

Lại có: P = $\frac{1}{{{x}^{2}}}$ + $\frac{1}{{{y}^{2}}}$ = $\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{{{(xy)}^{2}}}$

Thay x² + y² = 20 vào biểu thức P ta có:

P = $\frac{20}{{{(xy)}^{2}}}$

Mà: xy $\le $ 10   với mọi x, y > 0

Nên (xy)²  $\le $ 100  với mọi x, y > 0

$\Rightarrow $ $\frac{20}{{{(xy)}^{2}}}$  $\ge $  $\frac{20}{100}$  với mọi x, y > 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là: $\frac{1}{5}$