Bài giải:

P = $\frac{8x+12}{{{x}^{2}}+4}$ 

=  $\frac{{{x}^{2}}+8x+16-{{x}^{2}}-4}{{{x}^{2}}+4}$

= $\frac{{{(x+4)}^{2}}}{{{x}^{2}}+4}$ - 1

Ta có: (x + 4)²   $\ge $ 0   với mọi x

và x² + 4   >  0   với mọi x

Suy ra: $\frac{{{(x+4)}^{2}}}{{{x}^{2}}+4}$$\ge $ 0   với mọi x

$\Rightarrow $ $\frac{{{(x+4)}^{2}}}{{{x}^{2}}+4}$ - 1 $\ge $ -1   với mọi x

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là: -1 khi x + 4 = 0 $\Leftrightarrow $ x = -4